1 + 1 non fa (sempre) 2 by John D. Barrow;

autore:John D., Barrow; [Barrow, John D. ]
La lingua: ita
Format: epub
Tags: La cultura scientifica, Intersezioni
ISBN: 9788815363886
editore: Societa editrice il Mulino Spa
pubblicato: 2020-08-15T00:00:00+00:00

Al giorno d’oggi i matematici non sono alla ricerca di una singola logica, o di un insieme di assiomi, da porre alla base di tutta la matematica[4]. Essi sono consapevoli che insiemi differenti di assiomi si possono creare per mettere a posto parti diverse del loro studio: geometrie euclidee o non euclidee, logica a tre valori, teoria dei gruppi e tutte le diverse possibili algebre. Essi hanno spostato l’imperativo assiomatico nell’ambito della computazione, in modo da ottenere programmi coerenti per risolvere compiti specifici («routine» o «applicazioni computazionali»). La coerenza è imprescindibile per ottenere ben definiti insiemi di regole con cui istruire correttamente un computer. Alcuni famosi problemi, come il problema dei quattro colori[5], sono stati risolti all’inizio con l’aiuto dei computer, in ragione del numero enorme di casi particolari che devono essere considerati e controllati così da gestire i controesempi del teorema.

Ma questo non accadeva ai tempi di Russell e Whitehead. Piuttosto, alla metà del XIX secolo, George Boole aveva formulato una logica attraverso procedure algebriche creando così quella che ora chiamiamo «algebra booleana»[6], e Frege, Dedekind e Peano utilizzarono la teoria degli insiemi per definire i numeri e formulare le operazioni di addizione e moltiplicazione in termini di unione e intersezione di insiemi, concetti che avevano una portata più ampia della sola aritmetica[7].

Allo scopo di trasformare le operazioni matematiche in operazioni logiche (essenzialmente in quello che oggi diremmo un programma di computer) non è un caso che Russell, in precedenza, avesse lavorato a una straordinaria biografia di Leibniz, il quale alla fine del XVII secolo aveva cercato di creare una macchina che avrebbe risposto a ogni possibile domanda, che fosse di natura matematica, teologica o politica.

Una delle lezioni che possiamo trarre da questi sviluppi è che i sistemi matematici possono essere definiti in qualunque modo si voglia, a patto che siano coerenti. Non hanno bisogno di un’applicazione al mondo naturale o di qualche motivazione che da questo scaturisca. Li possiamo considerare al pari di giochi liberamente inventati. Ecco un esempio. Supponiamo di avere quattro quantità chiamate John, Pino, Alessia e Jo. Definiamo le regole per moltiplicarle e addizionarle come nelle tabelle 6.1 e 6.2.

La ragione per cui abbiamo introdotto il complesso lavoro di Whitehead e Russell è perché dimostra, a partire dai suoi semplici assiomi, che 1 + 1 = 2. La dimostrazione arriva dopo centinaia di pagine distribuite nei primi due volumi. Naturalmente, molti altri aspetti sono sviluppati e dimostrati in quelle stesse pagine.

TAB. 6.1. Regole dell’addizione. Per esempio, Pino + Pino = Alessia e Alessia + Jo = Pino

John

Pino

Alessia

Jo

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